В 1926-30 учился в Школе-студии им. Ермоловой (Москва). В 1933-38 гг. актёр МХАТ, на сцене которого сыграл около 30 ролей. Начал с выходов в народных сценах: в "Царе Фёдоре Иоанновиче", "Женитьбе" Фигаро, "Воскресении", "Егоре Булычове и других", "Талантах и поклонниках". Стал исполнителем эпизодических ролей: арестант в "Горячем сердце", юнкер в "Днях Турбиных", извозчик и клерк в "Пиквикском клубе". Сыграл Уланова в спектакле по прозе Горького " В людях" (1934) и Рябцева во "Врагах" (1935). В 1938 г. был арестован и осуждён особым совещанием при НКВД СССР.
8 марта 1944 года освободившийся из заключения Юрий Кольцов был принят в Магаданский музыкально-драматический театр имени М. Горького. Сыграл роли: Борис Годунов в "Царе Фёдоре Иоанновиче" А.К.Толстого; Гарри Смит в "Русском вопросе" Симонова, Берсенев в "Разломе", Илья Быков в "Касатке" А.Толстого и др. Коллегами по сцене были Александр Демич, до ареста — ведущий актёр Театра им. Ермоловой, Георгий Жжёнов, режиссёр Леонид Варпаховский.
В 1948–56 гг. был актёром Областного драмтеатра в Ростове-на-Дону. Сыграл: Батуру в "Калиновой роще" Корнейчука, Мальволио в "Двенадцатой ночи" Шекспира, Трэнка в "Лондонских трущобах" Шоу, Геннадия Дубравина в "Огненном мосту" Ромашова, Протасов в "Живом трупе" Л.Толстого, Труффальдино в "Слуге двух господ" Гольдони, Карандышев в "Бесприданнице". Был реабилитирован 22 октября 1955 г.
В январе 1956 г. вернулся в труппу МХАТ. Был введён в спектакли: "Кремлёвские куранты" (Иностранный писатель, 1956), "Три сестры" (Тузенбах, 1958). Был первым исполнителем ролей: профессора Полежаева в "Беспокойной старости"; Михалевича в "Дворянском гнезде"; учителя Мирою в "Безымянной звезде"; священника Серафима в "Всё остается людям"; доктора Ранка в "Кукольном доме"; Дэвида Штейна в "Убийце" и др. Ушёл из МХАТа в августе 1964 г.
В кино Кольцов сыграл Циолковского в "Человеке с планеты Земля", на телевидении сыграл роли Кенделла в "Теперь пусть уходит" Пристли; Адамова в "Седьмом спутнике" по Лавренёву. Много выступал как чтец с программами по Марку Твену, Мопассану, Чехову, Горькому, Маяковскому, Шолохову и др.
Умер Кольцов в Москве 22 июля 1970 г.
